復數的教學設計

時間：2021-01-17 10:28:04 教學設計我要投稿

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　　引入：

復數的教學設計

　　大家都知道，數，是數學中的基本概念，也是我們生活和科學技術時刻離不開的語言和工具。前幾天，老師遇到了這樣一個與數有關的問題，大家看看該怎樣解決呢？

　　問題1：已知，求：（1）；（2）。

　　對于第二個問，學生可能出現下面幾種方案得出結論，

　　方案一：

　　方案二：

　　方案三：通過可是

　　方案四：

　　你是怎么處理的，結論是什么？

　　第二個問為什么沒解出來？為什么存在著使的數，但是卻求不出來，你是怎么想的呢？

　　正如同學們所分析的，數的概念需要進一步發展，實數集需要擴充。這就是本節課要研究的內容——§3.3.1數系的擴充與復數的概念。

　　應該如何進行數的擴充呢？到目前為止，大家已經知道，數系經歷了三次擴充，就讓我們通過回憶，從中尋找數系擴充的方法。

　　請大家以四人為一組合作探討下面的問題。

　　問題2：數在不斷的發展，到目前為止，經歷了三次擴充，

　　（1）回顧數從自然數發展到實數的三次擴充歷程。

　　（2）說明數集N,Z,Q,R的關系

　　（2）分析每一次引入新數，擴大數系的原因。

　　同學們說的非常好，數的這種發展一方面是生產生活的需要，另一方面也是數學本身發展的需要。

　　數與數之間的聯系正是通過一些運算建立起來的，如果沒有運算，數不過是一些孤立的符號，毫無意義，接下來讓我們從運算的角度，進一步討論數的擴充。

　　問題3：對于加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算來說，在以下四個數集中，

　　(1)任意兩個數運算所得的結果是否仍然屬于這個數集。

　　(2)試著分析，引入負數，分數，無理數對于運算的影響。

　　通過不斷的引入新數，數系逐步擴大到了實數系。通過這個表格，我們看到，新的數集中，原有的運算律仍然適用，同時引入新數后，使得原來的某種不可以實施的運算變得可行了。

　　問題4：現在我們要進行數系的再一次擴充就是要解決什么問題？怎么解決？你能具體說一說嗎？

　　同學們分析的很好，到目前為止，負數開偶次方的問題還沒有解決，我們不妨先來研究負數開平方的問題，從運算的角度來說，也就是要解決方程在實數系中無解的問題。像大家說的，我們可以仿照前面的做法，引入一種新數，法國數學家笛卡爾給這些數起名叫虛數，即 “虛的數”與“實數”相對應．這是因為最開始研究這種新數是在16世紀，而那個時候人們沒能發現什么事物可以支持這樣的數。

　　如果引入虛數，負數可以開方了，那么就有意義了。我們希望，引入虛數后，原來在實數集中給出的運算規則仍能適用。例如，在引入虛數后，我們希望能把表示成的形式。實際上任何一個負數的平方根都可以表示成一個實數與的乘積的形式，因此，意大利數學家邦貝利提出可以把看作虛數單位。

　　負數、分數和無理數引入時，都相應的帶來了一種新的記號，那么對于虛數，用一種什么樣的記號來表示呢？

　　現在我們規定：（1）；（2）。

　　使用來表示這個數，是偉大的數學家歐拉在1777年，雙目失明以后憑借著超乎尋常的意志和毅力，仍然不放棄對科學問題的思索與追求的結果，從而讓虛數有了一個特征性的記號。從此，也就不在使用表示虛數單位了，而是了。那么，這種表示方法既簡潔又有特點。

　　問題5：不僅僅是虛數吧，你還能說出其他形式的虛數嗎？那么通過運算，虛數可以用表示成什么形式呢？（討論）

　　一．復數的定義

　　虛數與實數構成了一個新的數集，我們把這個新的數集叫做復數集，記作。這樣我們就完成了數系的又一次擴充。我們把新的數系稱作復數系。

　　該怎樣用描述法表示集合呢？

　　形如的數，我們把它們叫做復數，其中叫做復數的實部，叫做復數的虛部。

　　一個復數是由兩部分組成的，如果兩個復數的實部和虛部分別相等,我們就說這兩個復數相等，反之亦然，即

　　問題6：實數與虛數組成了復數，那么這種形式，什么時候表示實數，什么時候表示虛數呢？

　　二．例題

　　例題1.判斷下列各數哪些是實數、虛數、純虛數，并指出它們各自的實部和虛部。

　　例題2．當取何實數時，復數是：

　　（1）實數（2）虛數（3）純虛數（4）零

　　結論：

　　三．虛數引入的必要性

　　通過前面的研究，大家對虛數已經有了初步的認識，然而歷史上引入虛數，可不是件容易的事，是許多數學家200多年的努力，才奠定了虛數在數學領域的地位。開始很多人都不承認虛數，就連科學家牛頓也不認為虛數有多少意義，他認為虛數的引入只是為了使不可解的問題，顯得像是可以解的樣子。

　　他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：「把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40 … 因此，將分成的兩部分應是 5+事實并非如此，我們最開始研究的問題1，就是16世紀，意大利數學家卡爾達諾研究的一個著名問題：“將10分成兩部分，使他們的乘積等于40” 的'變形。這個問題就說明了虛數的存在性。

　　數十年后另一個意大利數學家邦貝力（R. Bombelli，1526-1573）發現，方程有三個實數根4，。邦貝力在利用三次方程求根公式求解時，卻發現實數4竟然是用來表示的。

　　這個問題進一步說明了虛數不是虛無飄渺的，而是客觀存在的。

　　四．復數的實際應用

　　在十六世紀，很多數學家不認可虛數，只不過因為那時人們對數的認識還不是很深刻，負數和無理數才剛剛接受，讓他們接受負數可以開方就更難了。而且那時也無法在現實世界中找到任何可以支持虛數的事物。

　　不過經過許多數學家的深入研究與探索，現在復數理論越來越完善，它的重要性也越來越明顯。在處理很多數學問題，如代數、分析、幾何與數論等問題中，皆可看到復數的蹤跡。

　　一些碎形就是基于復數理論基礎上的。

　　這個圖就是碎形——曼德勃羅集合，這是他的局部放大圖。

　　復數更多的應用是作為一種數學工具，服務于各個領域。比如復數為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，為建立巨大水電站（如三峽水電站）提供了重要的理論依據。

　　復數還廣泛的應用于物理學的各個分支，比如在交流電，工程力學中的計算，計算量子力學中的震蕩波產生的影響，等等。

　　五．師生小結

　　那么，通過這堂課的學習你有哪些收獲？

　　今天我們的學習僅僅是打開了研究復數的大門，對復數的認識還是膚淺的，在今后的學習中，大家再慢慢體會復數的作用。