高一數學《集合與集合的表示方法》教學設計
1 集合的概念和表示方法
教材分析
集合概念的基本理論，稱為集合論.它是近、現代數學的一個重要基礎.一方面，許多重要的數學分支，如數理邏輯、近世代數、實變函數、泛函分析、概率統計、拓撲等，都建立在集合理論的基礎上.另一方面，集合論及其反映的數學思想，在越來越廣泛的領域中得到應用.在小學和初中數學中，學生已經接觸過集合，對于諸如數集(整數的集合、有理數的集合)、點集(直線、圓)等，有了一定的感性認識.這節內容是初中有關內容的深化和延伸.首先通過實例引出集合與集合元素的概念，然后通過實例加深對集合與集合元素的理解，最后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子.本節的重點是集合的基本概念與表示方法，難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合.
教學目標
1. 初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數集及其記法.
2. 初步了解“屬于”關系的意義，理解集合中元素的性質.
3. 掌握集合的表示法，通過把文字語言轉化為符號語言(集合語言)，培養學生的理解、化歸、表達和處理問題的能力.
任務分析
這節內容學生已在小學、初中有了一定的了解，這里主要根據實例引出概念.介紹集合的概念采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學生容易接受.在引出概念時，從實例入手，由具體到抽象，由淺入深，便于學生理解，緊接著再通過實例理解概念.集合的表示方法也是通過實例加以說明，化難為易，便于學生掌握.
教學設計
一、問題情境
1. 在初中，我們學過哪些集合?
2. 在初中，我們用集合描述過什么?
學生討論得出：
在初中代數里學習數的分類時，學過“正數的集合”，“負數的集合”;在學習一元一次不等式時，說它的所有解為不等式的解集.
在初中幾何里學習圓時，說圓是到定點的距離等于定長的點的集合.幾何圖形都可以看成點的集合.
3. “集合”一詞與我們日常生活中的哪些詞語的意義相近?
學生討論得出：
“全體”、“一類”、“一群”、“所有”、“整體”，……
4. 請寫出“小于10”的所有自然數.
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.這些可以構成一個集合.
5. 什么是集合?
二、建立模型
1. 集合的概念(先具體舉例，然后進行描述性定義)
(1)某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集.
(2)集合中的每個對象叫作這個集合的元素.
(3)集合中的元素與集合的關系：
a是集合A中的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A;
a不是集合A中的元素，稱a不屬于集合A，記作aA.
例：設B={1，2，3｝，則1∈B，4
2. 集合中的元素具備的性質 B.
(1)確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是否屬于這個集合的元素也就確定了.如上例，給出集合B，4不是集合的元素是可以確定的.
(2)互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復的.
例：若集合A={a，b｝，則a與b是不同的兩個元素.
(3)無序性：集合中的元素無順序.
例：集合{1，2｝與集合{2，1｝表示同一集合.
3. 常用的數集及其記法
全體非負整數的集合簡稱非負整數集(或自然數集)，記作N.
非負整數集內排除0的集合簡稱正整數集，記作N*或N+;
全體整數的集合簡稱整數集，記作Z;
全體有理數的集合簡稱有理數集，記作Q;
全體實數的集合簡稱實數集，記作R.
4. 集合的表示方法
[問 題]
如何表示方程x2-3x+2=0的所有解?
(1)列舉法
列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法.
例：x2-3x+2=0的解集可表示為{1，2｝.
(2)描述法
描述法是用確定的`條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.
例：①x2-3x+2=0的解集可表示為{x|x2-3x+2=0｝.
②不等式x-3>2的解集可表示為{x|x-3>2｝.
③Venn圖法
例：x2-3x+2=0的解集可以表示為(1，2).
5. 集合的分類
(1)有限集：含有有限個元素的集合.例如，A={1，2｝.
(2)無限集：含有無限個元素的集合.例如，N.
(3)空集：不含任何元素的集合，記作.例如，{x|x2+1=0，x∈R｝=.
注：對于無限集，不宜采用列舉法.
三、解釋應用
[例 題]
1. 用適當的方法表示下列集合.
(1)由1，2，3這三個數字抽出一部分或全部數字(沒有重復)所組成的一切自然數.
(2)平面內到一個定點O的距離等于定長l(l>0)的所有點P.
(3)在平面a內，線段AB的垂直平分線.
(4)不等式2x-8<2的解集.
2. 用不同的方法表示下列集合.
(1){2，4，6，8｝.
(2){x|x2+x-1=0｝.
(3){x∈N|3
3. 已知A={x∈N|66-x∈N｝.試用列舉法表示集合A.
(A={0，3，5｝)
4. 用描述法表示在平面直角坐標中第一象限內的點的坐標的集合.
[練 習]
1. 用適當的方法表示下列集合.
(1)構成英語單詞mathematics(數字)的全體字母.
(2)在自然集內，小于1000的奇數構成的集合.
(3)矩形構成的集合.
2. 用描述法表示下列集合.
(1){3，9，27，81，…｝.
(2)
四、拓展延伸
把下列集合“翻譯”成數學文字語言來敘述.
(1){(x，y)|y=x2+1，x∈R｝.
(2){y|y=x2+1，x∈R｝.
(3){(x，y)|y=x2+1，x∈R｝.
(4){x|y=x2+1，y∈N*｝.
點 評
這篇案例注重新、舊知識的聯系與過渡，以舊引新，從學生的原有知識、經驗出發，創設問題情境;從實例引出集合的概念，再結合實例讓學生進一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法.非常注重實例的使用是這篇案例的突出特點.這樣做，通俗易懂，使學生便于學習和掌握.例題、練習由淺入深，對培養學生的理解能力、表達能力、思維能力大有裨益.拓展延伸注重數學語言的轉化和訓練，注重區分形似而質異的數學問題，加強了學生對數學概念的理解和認識.
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